Question

求与双曲线x2/4-y2/2=1共焦点，且过点（2.1）的圆锥曲线

Answer 1

若有双曲线与 x^2/4-y^2/2=1 共焦点，设方程为 x^2/(4-k)-y^2/(2+k)=1，（-2<k<4）
将点(2，1)坐标代入得 4/(4-k)-1/(2+k)=1，
4(2+k)-(4-k)=(4-k)(2+k)，
k^2+3k-4=0，
(k-1)(k+4)=0，
解得 k=1(舍去-4)
若有椭圆与 x^2/4-y^2/2=1共焦点，设方程为 x^2/(4+k)+y^2/(k-2)=1，（k>2）
将点（2，1）坐标代入得 4/(4+k)+1/(k-2)=1，
4(k-2)+(4+k)=(4+k)(k-2)，
k^2-3k-4=0，
(k+1)(k-4)=0，
解得 k=4(舍去-1）
综上，所求圆锥曲线方程为 x^2/3-y^2/3=1 或 x^2/8+y^2/2=1。