Question

如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB等于90°，AC＝BC＝4，D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点

且∠ADC＝45°，CD交AB于E
【1】求证：AD＝CD
【2】求AE的长

Answer 1

（1）过D作DM⊥CF,DN⊥AB
∵DB为∠ABF的角平分线
∴DN=DM
∵△ACB为等腰Rt△，∴∠CAB=∠CBA=45°
已知∠ADC=45° ∠CEB=∠AED（对顶角）
∴∠DAN=∠DCF
在△AND与△CMD中
∠DAN=∠DCM
DN=DM
∠AND=∠CMD=Rt∠
∴△AND≌△CMD(AAS)
∴AD=CD
(2)∵AD=CD ∴∠DAC=∠ECA
∠AEC=∠EAD+∠ADE=∠EAD+45°
∠ACE=∠DAC=∠CAE+∠EAD=45°+∠EAD
∴∠AEC=∠ACE
AC=AE=4

Answer 2

⑴∵∠CBA=∠CDA=45°，
∴C、A、D、B四点共圆，
∵∠ACB=90°，∴AB是直径，∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=∠FBD=﹙90°＋45°﹚／2=﹙135／2﹚°，
∴∠ACD=﹙135／2﹚°，
∴∠BCD=90°－﹙135／2﹚°=﹙45／2﹚°，
∴∠CAD=45°＋﹙45／2﹚°=﹙135／2﹚°=∠ACD，
∴AD=CD，
⑵考察△ACE，由内角和得：
∠AEC=180°－45°－﹙135／2﹚°
=﹙135／2﹚°
=∠ACE，
∴AE=AC=4.

Answer 3

LL.
我们也有这一题,
但是我只会做第一题.
望采纳..
证:做DM⊥CF,DN⊥AB
∵BD是∠ABF的角分线
∴DM=DN,∠MDB=45°
又∠ADC=45°
∴∠ADN=∠CDM
在△ADN和△CDM中
∠ADN=∠CDM
DM=DN
∠AND=∠CMD
∴△ADN≌△CDM(ASA)
∴AD=CD

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