Question

已知x,y,z是实数，a,b,c是正实数，求证

[（b+c)/a]x^2 + [(a+c)/c]y^2 + [(a+b)/c]z^2 ≥ 2(xy+yz+xz)

求过程

Answer 1

[（b+c)/a]x^2 + [(a+c)/b]y^2 + [(a+b)/c]z^2
=(b/a)x^2+(a/b)y^2+(c/a)x^2+(a/c)z^2+(c/b)y^2+(b/c)z^2
>=2根号（（b/a)x^2 *(a/b)y^2)+2根号((c/a)x^2 *(a/c)z^2)+2根号((c/b)y^2* (b/c)z^2)
=2(xy+yz+xz)

Answer 2

证明：
∵a,b,c均为正实数。
∴由基本不等式：m²+n²≥2mn可得：
x²·(b/a)+y²(a/b)≥2xy.
x²·(c/a)+z²·(a/c)≥2xz.
y²·(c/b)+z²·(b/c)≥2yz.
把上面的三个式子相加，整理可得：
x²·[(b+c)/a]+y²[(a+c)/b]+z²·[(a+b)/c]≥2(xy+yz+xz).