Question

两道四版微积分数学题 请详解谢谢大家了！！！

利用夹逼定理证明：若a1,a2,a3,......,am 为m个正常数，则
lim(n趋向于∞) n次根号下a1^n+a2^n+......+am^n=A 其中A=max{a1，a2，......，am}

利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1=根号2，x2=根号下2+根号2，......，xn+1=根号下2+xn(n=1,2,......)，则lim(n趋向于∞）xn存在，并求该极限。

Answer 1

第一题：将所有的a1,a2,...,am全部用A代替，这样把整个式子放大了，结果为
n次根号下(n*A^n)=n次根号下(n)*A，极限为A
然后将该式缩小，a1,a2,...,am中肯定有一个和A相等的，把这一项留下，其余项删除，这样就缩小了，结果为：n次根号下(A^n)=A
放大与缩小后的极限都是A，这样由夹逼准则，本题得证

第二题，首先要证明极限存在，该数列单增是比较显然的，下面证明有界，
数学归纳法，x1<2，假设xn<2，下证x(n+1)<2
x(n+1)=根号下(xn+2)<根号下(2+2)=2，因此所有xn<2，数列单增有上界，极限存在。
设极限为a，对x(n+1)=根号下(xn+2)两边求极限得：a=根号下（a+2）
两边平方得：a^2=a+2，解这个一元二次方程得a=2（另一根舍去）
该极限为2.

Answer 2

见图