Question

已知定义在区间[0,2]上的两个函数f(x)和g(x),f(x)=x^2-2ax+4(a≥1），g(x)=2x/x+1.

(1)，求函数y=f(x)的最小值m(a)
(2),若对任意x1.x2属于[0,2],f(x2)>g(x1)恒成立，求a的取值范围

Answer 1

（1）当1≤a≤2时 对称轴x=a 在区间 [0,2]在 则在对称轴处取得最小值4-a^2
当a＞2时 f（x）在区间[0,2]上是递减函数 最小值在x=2时取得8-4a
（2）若对任意x1.x2属于[0,2],f(x2)>g(x1)恒成立则 f（x）＞g（x）恒成立
当1≤a≤2时 f（x）最小值4-a^2 ＞g（x）的最大值
g（x）=2-2/(x+1)是递增函数 最大值为2-2/(2+1)=4/3 4-a^2>4/3 a^2>8/3 a>根号8/3或x<-根号8/3 所以1≤a＜根号8/3
当a＞2时 8-4a＞4/3 a>5/3 所以a＞2
综上所述1≤a＜根号8/3或a＞2

Answer 2

1)f(x)=(x-a)^2+4-a^2
对称轴x=a, 因为a>=1, 所以端点2比端点0更接近对称轴，所以 fmin=f(2)=8-4a
2)即f(x)>g(x) 在[0,2]上恒成立
f(x)的最小值为8-4a,
又g(x)=2x/(x+1)=2-2/(x+1)
得gmax=g(2)=2-2/3=4/3
所以有：8-4a>4/3,
即：1=<a<5/3

Answer 3

（1）当1≤a≤2时 对称轴x=a 在区间 [0,2]上，则在对称轴处取得最小值4-a^2
当a＞2时 f（x）在区间[0,2]上是递减函数 最小值在x=2时取得8-4a
（2）分别取f（x）2个最小值去求，最后得出1≤a＜根号下8/3或a＞2