Question

双曲线与直线问题！急

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a大于0b大于0)与方向向量为=(6,6)的直线交于AB两点 线段AB的中点为（4，1） 则该双曲线的渐近线方程是

Answer 1

双曲线问题。善用两点式

方向向量为=(6,6)的直线
即该直线的斜率k=y/x=6/6=1
设A(X₁,Y₁) B(X₂,Y₂)
线段AB的中点为（4，1）
即(x₁+x₂)／2=4
x₁+x₂=8
(y₁+y₂)/2=1
y₁+y₂=2

∵AB在双曲线上
∴x₁^2/a²-y₁^2/b²=1①
x₂^2/a²-y₂^2/b²=1②
①-②得
（x₁²-x₂²）/a²-(y₁²-y₂²)/b²=0
（x₁²-x₂²）/a²=(y₁²-y₂²)/b²
(x₁+x₂)(x₁-x₂)／a²=(y₁+y₂)(y₁-y₂)/b²
8(x₁-x₂)／a²=2(y₁-y₂)/b²
b²／a²=2(y₁-y₂)/(8(x₁-x₂))=1/4*k=1/4*1=1/4
∴a²=4b²
a=2b

该双曲线的渐近线方程是y=±b/a=±1/2

Answer 2

x^2/a^2-y^2/b^2=1
k=1 (4,1) y=x-3
联立 x^2*（b^2)-(x-3)^2*(a^2）=（ab）^2
即 (b^2-a^2)x^2 - 6(a^2)x - 9(a^2) -（ab）^2 = 0
A= (b^2-a^2) B= - 6(a^2) C= - 9(a^2) -（ab）^2
4= -B/(2A) 所以 7a^2=4b^2
b/a=二分之根号七 渐近线y=正负（b/a）x
所以 渐近线 y=二分之根号七 x 和 y= - 二分之根号七 x