Question

在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，联结ED，且∠AED=∠B，在DE上取一点F，使AF=AE

（1）请写出图中所有相似的三角形，并证明你结论的正确性。
（2）若AE=2√3，BC=3BE，求DE*DF的值。
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3Q了！
如图

Answer 1

解：（1）△ABE∽△DEA，△AFD∽△DCE．
（2）∵BC=3BE，
∴设BE=x，则BC=3x，
∴AD=3x，EC=2x，
由△ABE∽△DEA，得： AEAD=BEAE，
∵ AE=23，
∴ 233x=x23，
∴x=2，
又由△AFD∽△DCE，
得DE•DF=AD•EC=3x×2x=6x2，
∴DE•DF=24．
故答案为：24．

Answer 2

解：（1）△ABE∽△DEA，△ADF∽△DEC，
证明：∵∠B=∠AED，∠AEB=∠DAE=90°，∴△ABE∽△DEA；
∵在平行四边形中，∴∠ADE=∠DEC，∠B+∠DCE=180°=∠AEF+∠DCE=180°
又 AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC
（2）BC=3BE，设BE=x，则BC=AD=3x，EC=2x，
由△ABE∽△DEA，得：AE/AD=BE/AE，∵AE=2√3，∴2√3/3x=x/2√3，∴x=2
又由△ADF∽△DEC，得：DF/EC=AD/DE，即DF×DE=AD×EC=3x·2x=3×2×2×2=24

Answer 3

解：（1）△ABE∽△DEA，△ADF∽△DEC，
证明：∵∠B=∠AED，∠AEB=∠DAE=90°，∴△ABE∽△DEA；
∵在平行四边形中，∴∠ADE=∠DEC，∠B+∠DCE=180°=∠AEF+∠DCE=180°
又 AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC
（2）BC=3BE，设BE=x，则BC=AD=3x，EC=2x，
由△ABE∽△DEA，得：AE/AD=BE/AE，∵AE=2√3，∴2√3/3x=x/2√3，∴x=2
又由△ADF∽△DEC，得：DF/EC=AD/DE，即DF×DE=AD×EC=3x·2x=3×2×2×2=24