Question

如图,正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF垂直AE于F，设PA=X

求证:1.△PFA相似△ABE.2.若以P.F.E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求X的值

Answer 1

1.证明：∠B=∠BFA=RT∠

BC∥AD⇒∠BEA=∠PAE

∴△PFA∼△ABE

2解：如果令△PFE∼△ABE

那么△PFE∼△PFA

因为PF⊥AE

∴∠EPF=∠APF或∠EPF=∠PAF

若∠EPF=∠APF

△EPF≅△APF

则P点在P1位置

此时AF1=EF1

由勾股定理AE=2√(5)

AF1=√(5)

∴P1F1=2√(5)

∴X=AP1=5

若∠EPF=∠PAF

P在P2位置为AD中点

X=2(过程从略）

Answer 2

1.证明：∠B=∠BFA=RT∠
BC∥AD⇒∠BEA=∠PAE
∴△PFA∼△ABE
2解：如果令△PFE∼△ABE
那么△PFE∼△PFA
因为PF⊥AE
∴∠EPF=∠APF或∠EPF=∠PAF
若∠EPF=∠APF
△EPF≅△APF
则P点在P1位置
此时AF1=EF1
由勾股定理AE=2√(5)
AF1=√(5)
∴P1F1=2√(5)
∴X=AP1=5
若∠EPF=∠PAF
P在P2位置为AD中点
X=2(过程从略）

Answer 3

（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）此题首先应针对点P的位置分为两种大情况：点P在AD边上时或当点P在AD的延长线上时．同时还要特别注意⊙D与线段AE只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段AE只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE外的情况即是x的取值范围．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．（1分）
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．（1分）
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．（1分）
∴△PFA∽△ABE．