Question

如图，正方形abcd的边长为4 e是bc边的中点,E是CD的中点,点P在射线AD上，过P做PF⊥AE于F 当点P在射线AD上运

当点P在射线AD上运动时,设PA=x,使P,F,E为顶点的三角形与三角形ABE相似
则X=多少？

Answer 1

（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）此题首先应针对点P的位置分为两种大情况：点P在AD边上时或当点P在AD的延长线上时．同时还要特别注意⊙D与线段AE只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段AE只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE外的情况即是x的取值范围．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．（1分）
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．（1分）
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．（1分）
∴△PFA∽△ABE．

Answer 2

根据题意
△ABE∽△PFE
设∠BEA=a
∠PAF=a
PA=x
PF=xsina
AE=2√5（勾股定理算出）
AF=xcosa
EF=2√5-xcosa
△ABE∽△PFE
∠BEA=∠AEP
∠BEA=∠PAE
∠AEP=∠PAE
PA=PE=x
在RT△PFE中
根据勾股定理
PF²+EF²=PE²
x²sin²a+（2√5-xcosa）²=x²
20-4√5xcosa=0
x=20/（4√5cosa）
cosa=2/（2√5）=1/√5
x=5
仅供参考

Answer 3

2个， 一种是角PEF = 角BAE.

一种是角PEF = 角AEB .

前者：就是PE 平行AB, AP = BE = 2.

后者：是三角形APE等腰，F是AE中点。AP = PE = 根5 * AE/2 = 5