如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.(1)求证:△PFA

如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.(1)求证:△PFA∽△ABE;(2)若以P,F,E为顶点的三角形也... 如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.(1)求证:△PFA∽△ABE;(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似,试求x的值. 展开
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小传君0897
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(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,且∠ABE=90°,
∴∠PAF=∠AEB,
又∵PF⊥AE,
∴∠PFA=∠ABE=90°
∴△PFA∽△ABE;

(2)解:①当△EFP∽△ABE,且∠PEF=∠EAB时,
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形,
∴PA=EB=2,即x=2.
②当△PFE∽△ABE,且∠PEF=∠AEB时,
∵∠PAF=∠AEB
∴∠PEF=∠PAF,
∴PE=PA
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点,
AE=
AB2+BE2
42+22
20
=2
5

EF=
1
2
AE=
5

PE
AE
EF
EB

PE
2
5
5
2

得PE=5,
即x=5
故满足条件的x的值为2或5.
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