Question

已知函数f(x)=log2【（a^2-1）x^2+（a+1）x+1/4】

已知函数f(x)=log2【（a^2-1）x^2+（a+1）x+1/4】
（1）若定义域为R，求实数a的取值范围
（2）若值域为R，求实数a的取值范围

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Answer 1

解：令h（x）=（a^2-1）x^2+（a+1）x+1/4
1）若满足题设条件即h（x）>0在实数R恒成立，下面分类讨论（1）当a^2-1=0时得a=1或a=-1；当a=-1时h（x）=1/4>0恒成立，当a=1时h（x）=2x+1/4不能保证其在R上大于0恒成立故不符合舍掉。（2）a^2-1≠0即函数h（x）为二次函数，此时只需满足关系式：a^2-1>0；△=（a+1）^2-(a^2-1)<0即可；解得a<-1
综上所述a《-1
2）若要满足题设条件即只需保证h（x）>0在实数R上存在实数解即可。（1）当a^2-1=0时得a=1或a=-1(不满足舍掉)；（2）a^2-1≠0即函数h（x）为二次函数，此时只需保证；△=（a+1）^2-(a^2-1)》0即可，解得a>-1
综上所述a>-1

Answer 2

解：(1)若定义域为R则必须保证真数恒大于0即（a^2-1）x^2+(a+1)x+1/4>0恒成立
则：a^2-1>0且判别式(a+1)^2-(a^2-1)<0解得：a<-1
(2)若值域为R则必须保证真数取到全体大于零得实数，则真数有两种情况：
1）二次项系数为0，则a^2-1=0解a=1,若a=-1只能真数取到1/4不合题意
2）二次项系数不为零，则只能大于0且判别式必须大于等于0，解得a>1这样图像在x轴上部的值为大于零得全体实数全能取到，能保证值域为R

Answer 3

若要函数有意义。则必须函数F(X)=(a^2-1)x^2+(a+1)x+1/4>0
1.&>=0即（a+1）^2-4(a^2-1)1/4>=0解之得：a>-1
2.当函数F(X)开口向下的时候，即a^2-1<0,即-1<a<1 .x1X2=(a+1)/-2(a^2-1)<0

Answer 4

（1）由对数意义可知
（a^2-1）x^2+（a+1）x+1/4>0,

①.当a^2-1>0时,须满足
(a+1)^2-4*(a^2-1)*1/4<0,解得a<-5/2

②.当a^2-1<=0时,须满足
(a+1)^2-4*(a^2-1)*1/4>0,解得-1<a<1