Question

如图,点C D在线段AB上,且△PCD是等边三角形

如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形 （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PCB； （2）当△PAB∽△CAP时，试求∠APB的度数。

Answer 1

1)当AC*DB=CD^2时，三角形ACP∽三角形PDB(对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似）
(2)当三角形ACP∽三角形PDB时，
∠APC=∠B,
而∠APC+∠A=∠PCD=60°,
所以∠A+∠B=60°,
∠APB=180°-(∠A+∠B)=120°

Answer 2

CD²=AC·DB时
可以满足△ACP∽△PDB
这个就是先假设△ACP∽△PDB，
那么DB:PC=PD=AC
∵ △PCD是等边三角形，所以PC=PD=CD
∴ DB:CD=CD:AC 即CD²=AC·DB

问题2
∵ △PCD是等边三角形
∴ ∠BPD+∠B=60º,∠APC+∠A=60º
∵ △ACP∽△PDB
∴ 要么∠BPD=∠A，要么∠BPD=∠APC
∴ ∠BPD+∠APC始终等于60º
∠APB=∠BPD+∠APC+∠CPD=60º+60º=120º
因此当△ACP∽△PDB时,∠APB的度数是120º

Answer 3

1) CD*CD=AC*BD
因为三角形PCD为等边三角形 ，CD=PC=PD。由AC/PD=PC/BD 得PD×PC=AC×BD,又PD×PC=CD×CD,所以CD×CD=AC×BD.
(2)∵ △ACP∽△PDB∴∠A＝∠BPD,∠APC＝∠B,∠A+∠APC =∠PCD ＝ 60 ,∠B+∠BPD=∠PDC＝ 60°∴∠APC+∠BPD＝60°， ∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD = 60°+60°=120°