Question

设0＜a，b, c＜1,求证：（1—a)b, (1—b)c, (1—c)a不同时大于1/4

Answer 1

用反证法来证明：
假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于1/4，
由于a，b，c∈(0，1)，
所以
√[(1-a)b]>1/2，
√[(1-b)c]>1/2，
√[(1-c)a]>1/2，
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因为
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2，·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2，
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2，
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2，
这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾。
所以假设不成立，
故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于1/4。

注：本题用到了以下的基本不等式：
由于(√a-√b)^2≥0，展开得：a+b≥2√ab，即：√ab≤(a+b)/2。
②式利用了该基本不等式。

Answer 2

解：由已知有1-a>0，1-b>0，1-c>0，假设可以同时大于1/4,
但由由均值不等式得：
（1—a)b(1—b)c(1—c)a <=[(1-a+b+1-b+c+1-c+a)/6]^6
=(1/2)6
=1/64
=(1/4)^3
这与假设矛盾！故（1—a)b, (1—b)c, (1—c)a不同时大于1/4。