Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB，BC，AC为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S1，S2

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB，BC，AC为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S1，S2，设△ABC的面积为S．求证：S=S1+S2

Answer 1

令AB的中点为O。则容易知道：

S1＝（1/2）π（AC/2）^2－（扇形OAC的面积－△OAC的面积），

S2＝（1/2）π（BC/2）^2－（扇形OBC的面积－△OBC的面积），

∴S1＋S2＝（1/8）π（AC^2＋BC^2）－（扇形OAC的面积＋扇形OBC的面积）－△ABC的面积。

由勾股定理，有：AC^2＋BC^2＝AB^2，

∴S1＋S2＝（1/8）πAB^2－（扇形OAC的面积＋扇形OBC的面积）－S。

设∠AOC的弧度为m、∠BOC的弧度为n，则：

扇形OAC的面积＝［m/（2π）］π（AB/2）^2，

扇形OBC的面积＝［n/（2π）］π（AB/2）^2，

∴S1＋S2＝（1/8）πAB^2－［（m＋n）/（2π）］π（AB/2）^2－S。

显然，m＋n＝π，∴S1＋S2＝（1/8）πAB^2－（1/2）π（AB/2）^2－S，

∴S＝S1＋S2。

Answer 2

这题表述有毛病吧

Answer 3

nnnn