Question

已知函数f(x)=log2(1-x/1+x),1.判断并证明f(x)的奇偶性 2.若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根，求k

Answer 1

1.f(x)=log₂(1-x/1+x)，
f(-x)=log₂(1+x/1-x)，
则f(x)+f(-x)=log₂1=0，
即f(-x)=-f(x)，故f（x）为奇函数；

2.对于f（x），有(1-x/1+x）＞0，则-1＜x＜1；
对于f（x）=log₂（x-k），有（x-k）＞0，x＞k，故k≤-1；
因为f（x）为奇函数，故1-x/1+x=x-k，x²+（2-k）x-（k+1）=0，
因为该方程有实根，故△=（2-k）²+4（k+1）=k²+8恒大于0，即方程恒有实根；
综上，k≤-1。