Question

如图，分别以三角形ABC的三边为边在BC的同侧做三个等边三角形，即三角形ABC,三角形BCE

1：说明四边形ADEF是什么四边形？
2：当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
3：当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
4：当三角形ABC满足什么条件时，以A,D,E,F为顶点的四边形不存在？

Answer 1

解：（1）四边形ADEF是平行四边形．（1分）
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．（2分）
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．（4分）
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．（6分）

（4）当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）

（5）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）
^_^

Answer 2

解：（1）四边形ADEF是平行四边形．（1分）
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．（2分）
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．（4分）
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．（6分）

（4）当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）

（5）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）
^_^

Answer 3

1证明：△BDE与△BAC全等，则：DE=AC=AF。同理可以证明：△CFE与△CAB全等，则：FE=AB=AD。
2满足∠BAC=90º
3满足AB=AC
4满足∠ABC=90º

Answer 4

上和右