Question

已知f(x)为二次函数，且f（x+1）+f(x-1)=2x^2-4x. (1)求f（x）得表达式 (2)当x∈[1/2,2]时求f(2^x）的最大

(2)当x∈[1/2,2]时求f(2^x）的最大值与最小值

特别是第二问！

Answer 1

问题一：
1）求f（x）的解析式
解：
设二次函数f(x)=ax²+bx+c
∵ f(x)=ax²+bx+c， 根据题意得到：
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=a(x²+2x+1)+b(x+1)+c
=ax²+2ax+a+bx+b+c
=ax²+(2a+b)x+a+b+c

f(x-1)=a(x-1)²+b(x-1)+c
=a(x²-2x+1)+b(x-1)+c
=ax²-2ax+a+bx-b+c
=ax²+(b-2a)x+a-b+c

∴ f(x+1)+ f(x-1)=ax²+(2a+b)x+(a+b+c)+ax²+(b-2a)x+(a-b+c)
=2ax²+(2a+b+b-2a)x+{(a+b+c)+(a-b+c)}
=2ax²+2bx+2(a+c)

∵ f(x+1)+ f(x-1)=2x²-4x

∴ f(x+1)+ f(x-1)=2x²-4x=2ax²+2bx+2(a+c) ，那么，可得到方程组：
2a=2
2b=-4
2(a+c)=0
解方程得到：a=1，b=-2，c=-1

∴ 代入f(x)=ax²+bx+c中得到：
f(x)=x²-2x-1

问题二：
2) 当x∈[1/2，2] 时，求f(2^x)的最大值与最小值
解：
设g(x)=2^x
∵ x∈[1/2，2]
∴ g(x)=2^x 在x∈[1/2，2] 范围内的值域为：
指数函数g(x)=2^x ，其图像是过点(0，1)，并且为递增函数，
g(x)=2^x 的最小值是：x=1/2 时，最小值=√2 【√()，表示()中开2次方，√2表示，2开方】
g(x)=2^x 的最大值是：x=2 时， 最大值=4
g(x)=2^x 的值域为 [√2，4 ]

∵ f(x)=x²-2x-1函数图像是开口向上的抛物线，根据题意得到：
f(x)=x²-2x-1函数对称轴为x=1，
当x>1时，f(x)为增函数，
当x<1时，f(x)为增函数递减，
根据题意又得到：
g(x)=2^x 的值域为 [√2，4 ]，在坐标轴上，g(x)=2^x 值域在x=1的右边，即：1<√2<4，
g(x)=2^x >1

∴ x∈[1/2，2]时，f(2^x)Z在定义域 [√2，4 ]的最值情况如下：
f(2^x)有最小值时，2^x=√2(即：x=1/2时)， f(2^x)最小值=(√2)²-2(√2)-1
=2-2√2-1
=1-2√2

f(2^x)有最大值时，2^x=4(即：x=2时)， f(2^x)最大值=4²-2×4-1
=16-8-1
=7

Answer 2

f(x)=x²-2x-2
2 f(2^x)=(2^x)²-2(2^x)-2
对称轴为2^x=1 x=0 开口向上抛物线 当x∈[0,+∞] 时 2^x单调增 f(x)单调增
所以 f(2^x)单调增 所以f(1/2) 为最小值=-2根号下2 f(2)为最大值=6