Question

求微分方程y"+y'-6y=(x+1)e^x的通解

Answer 1

y''+y'-6y=0
特征方程
r^2+r-6=0
r1=2,r2=-3
y=Ce^2x+C1e^(-3x)
设特解y=C(x)e^x
y'=C'e^x+Ce^x
y''=C''e^x+2C'e^x+Ce^x
C''+(2C'+C')+(C+C-6C)=(x+1)
C''+3C'-4C=x+1
C''+3C'-4(C+x/4+7/16)+3/4=0
C'=(C+x/4+7/16)' -1/4
C''=(C+x/4+7/16)''
(C+x/4+7/16)''+3(C+x/4+7/16)'-4(C+x/4+7/16)=0
特征方程
r^2+3r-4=0
r1=1,r2=-4
C(x)+x/4+7/16=C0e^x+C01e^(-4x)
C(x)=C0e^x+C01e^(-4x)-x/4-7/16
特解y=C(x)e^x=C0e^2x+C01e^(-3x)-(x/4+7/16)e^x
通解y=Ce^2x+C1e^(-3x)-(x/4+7/16)e^x