Question

已知AB=AC,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,若BD平分角ABC，求AD/AC

Answer 1

已知，DM垂直平分AB，可得：AD = BD ；
则有：∠A = ∠ABD = ∠CBD ，∠BDC = ∠A+∠ABD = ∠CBD+∠ABD = ∠ABC = ∠BCD ；
可得：BC = BD = AD ；

因为，在△BDC和△ABC中，∠CBD = ∠CAB ，∠C为公共角，
所以，△BDC ∽ △ABC ，
可得：BC/DC = AC/BC ；

令 AD/AC = k（k > 0），
则有：BC = AD = kAC ，DC = AC-AD = (1-k)AC ；
可得：BC/DC = k/(1-k) ，AC/BC = 1/k ，
所以，k/(1-k) = 1/k ，
解得：k = (√5-1)/2（舍去负值），
即有：AD/AC = (√5-1)/2 。