Question

在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE垂直于EF,BE=2

（1）求EC:CF的值
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由
（3）在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）∵AE⊥EF 且BEC为一条直线，即成180°
∴∠AEB+∠FEC=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴Rt△BAE∽Rt△CEF
EC:CF=AB:BE=5:2
(2)作BC的垂线，交BC的延长线于Q，
设PQ=x
易证 △EFC∽△EQP
∴ EC/EQ=CF/PQ
即 3/(3+x)=6/5/x
∴ x=2
∴ EQ=AB=5
EP=AE
(3)在AB上取一点M，使AM=2，
易证 Rt△BAE≌Rt△ADM
∴ ∠AMD+∠EAB=90°
∴ MD⊥AE
又 已知 AE⊥EP
∴ MD‖EP
由（2）可知 EP=AE
∴ 四边形DMEP是平行四边形

Answer 2

解：（1）∵AE⊥EF 且BEC为一条直线，即成180°
∴∠AEB+∠FEC=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴Rt△BAE∽Rt△CEF
EC:CF=AB:BE=5:2
(2)作BC的垂线，交BC的延长线于Q，
设PQ=x
易证 △EFC∽△EQP
∴ EC/EQ=CF/PQ
即 3/(3+x)=6/5/x
∴ x=2
∴ EQ=AB=5
EP=AE
(3)在AB上取一点M，使AM=2，
易证 Rt△BAE≌Rt△ADM
∴ ∠AMD+∠EAB=90°
∴ MD⊥AE
又 已知 AE⊥EP
∴ MD‖EP
由（2）可知 EP=AE
∴ 四边形DMEP是平行四边形

Answer 3

解：（1）∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2；

（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME．
∴AM=CE．
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°．
∵CP是外角平分线，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°．
∴∠AME=∠ECP．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AME≌△PCE（ASA）．
∴AE=EP．

（3）
作PN⊥BC于点N．
△ABE∽△ECF
∴ABEC=BECF即nm-2=2CF
∴CF=2(m-2)n
设PN=x，则EN=m-2+x．
∵PN∥CF
∴△EFC∽△EPN
∴CFPN=
ECEN，即2(m-2)nx=m-2m-2+x
解得：x=2m-4n-2
∵△ABE∽△ENP
∴AEEP=ABEN=nm-2+
2m-4n-2=n(n-2)(m-2)(n-2)+2m-4=n-2m-2，
当m=n＞2时，AE=EP，
当n＞m＞2时AE＞EP，
当m＞n＞2时，AE＜EP．

Answer 4

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