Question

数学解析几何

1、已知直线x2=2py交于A、B两点，且OA垂直于OB，OD垂直于AB交于D点，D（1，2），求p的值

2、抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线焦点，且FA=2，FB=5，求抛物线上一点P，使三角形PAB面积最大，并求最大面积。

Answer 1

解：1.设点A(x1,y1),B(x2,y2)
直线OD的斜率为2/1=2,∴直线AB的斜率为-1/2
设改直线为y=-1/2 x+m
代入x²=2py消去得x²+px-2pm=0
则x1x2=-2pm,y1y2=x1²x2²/4p²=m²
∵向量OA*向量OB=0,即(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=0，即-2pm+m²=0.
由知点D（-1,2)在直线D上则2=-1/2 +m,∴m=5/2
∴p=5/4
2.解：设点A(x0,y0)B(x1,y1),y0>0,y1<0
则x0+1=2,x1+1=5
∴x0=1,x1=4,y0=2,y1=-4
∴直线AB为(y+4)/(2+4)=(x-4)/(1-4),化简得2x+y-4=0
设点P(x0,y0)
则距离d=|2x0+y0-4|/√5=|y0²/2 +y0-4|/√5
f(y0)=y0²/2 +y0-4对称轴为y0=-1,
由|f(y0)|的图像可知可以趋向于正无穷大，d无最大值，题目是不是抄错了？ .......此步需要楼主验证！！

若在弧AOB上，则y0∈[-4,2]
则当y0=-1时，有最大值d=9√5/10

Answer 2

由D点坐标可得OD的斜率， 然后就知道了直线AB的斜率，又因为过D点，所以直线方程就知道了，与抛物线方程联立，把AB点设出来，可得x1x2 ，y1y2的值，用p表示的，两式相加等于0，就可得p的值了

这个题P点是不是得在直线左边啊，要不然可以到无穷远，AB的长度是一定的，那么三角形的高就无穷了

Answer 3

已知直线x2=2py交于A、B两点，且OA垂直于OB，OD垂直于AB交于D点，D（1，2），求p的值

2、抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线焦点，且FA=2，FB=5，求抛物线上一点P，使三角形PAB面积最大，并求最大面积。

Answer 4

P=1/2

Answer 5

1/2