Question

有界函数与无穷大的乘积是什么?

Answer 1

无穷乘有界函数不可以确定结果，可能是无穷；可能是不存在。

当X-0时，(1/X)*sin(1/X)的极限就不存在。

1/X —〉趋向于无穷大，可是sin(1/X)是有界的。

对于：

x趋于无穷，limxsinx=∞问题。

从极限定义出发：

对于任意给定的不论多么大的正数M，不会存在一个正数X，使得当：

|x|>X时。

|xsinx|>M。 

相关信息：

在集合论中对无穷有不同的定义。

德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数（基数），有不同的“无穷”。两个无穷大量之和不一定是无穷大，有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数），有限个无穷大量之积一定是无穷大。

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X）。

只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。