Question

已知F(X)偶函数，且f(x+1)=1/f(x),当x∈[0,1]时，f(x)=x.若在[-1,3]内，g(x)=f(x)-kx-x有4个零点，求k范围

Answer 1

我有个疑问是四个交点还是三个？
X在(0,1)内F(X)= -X,
X在(1,2)内F(X)= 1/F(X -1)=1/X-1
X在(2,3)内F(X)= 1/F(X -1)=1/X-2
令Y1=F(X), Y2=(K+1)X 画出图形 找出交点数满足境况的即可 答案{X I -0.5<= X<1或 x>1}

Answer 2

(0，1/4] 数形结合。

追问

非常不好意思，题目打错了一个小地方：
g(x)=f(x)-kx-x更正为：g(x)=f(x)-kx-k
已知F(X)偶函数，且f(x+1)=1/f(x),当x∈[0,1]时，f(x)=x.若在[-1,3]内，g(x)=f(x)-kx-x有4个零点，求k范围
图像我已画出来了，但是我怎么只发现三个交点呢

追答

g(x)=f(x)-kx-x更正为：g(x)=f(x)-kx-k
这我可看出。
提示：由f(x+1)=1/f(x)，可得f(x+2)=f(x)，知f(x)是周期为2的周期函数，
因为当x∈[0，1]时，f(x)=x，画出图象，
再由F(X)偶函数(应该是f(x)为偶函数)，可作出x∈[-1，0]的图象，
这样就得到一个周期的图象了，然后将所得图象向右平移2个单位长度，得出x∈[1，3]的图象，
从而也就得到了f(x)在x∈[-1，3]的图象，(象个“W”，上三点纵坐标均为1，横坐标分别为-1，1，3；下二点纵坐标均为0，横坐标分别为0，2)。
而在[-1，3]内，g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，即f(x)=k(x+1)有4个零点，亦即y=f(x)的图象与直线y=k(x+1)有4个不同交点，而直线y=k(x+1)过点(-1，0)，
由图知k>0，当直线过点(3，1)时，k最大为1/4，
故k的取值范围是(0，1/4]。
(你自己再画出图体会一下吧！)