Question

几个正数的算术平均值不小于其几何平均值

Answer 1

定理证明：

最简证明法如下图：

也可用数学归纳法证明

证明：

1）当n=2时，

  a*b开方小于或等于a+b除以2

2）当n=3时 

因为(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3*(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)+6abc 

而(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)=a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)≥2abc+2bac+2cab=6abc 

而a^3+b^3+c^3≥3abc 

所以(a+b+c)^3≥3abc+3*6abc+6abc=27abc 

所以,两边开立方得a+b+c≥3*(3√abc)<里面的3√表示开立方> 

3）假设当有n个数成立时，并证明有n+1个数也成立，那么n就真的成立了。在家去推吧

Answer 2

调和平均数<几何平均数<算数平均数<平方平均数