Question

柯西中值定理的几何意义

Answer 1

几何意义：若令u=f(x),v=g(x)，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率...，所以[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]=f′(a)/f′(b)。

柯西中值定理的几何意义

f(t)和g(t)为t∈[a,b]上的函数。

[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]=f′(a)/f′(b)的证明如下

参数方程x=g(t),y=f(t);

x1-x2=g(a)-g(b);

y1-y2=f(a)-f(b);

(y1-y2)/(x1-x2)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)];

dy/dx=[dy/dt]/[dx/dt]=f′(t)/f′(b);

(y1-y2)/(x1-x2)表示两点连线斜率；dy/dx表示之间某点斜率；

根据罗尔定律可知存在(y1-y2)/(x1-x2)=dy/dx

所以[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]=f′(a)/f′(b)

柯西 中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。