Question

椭圆焦点三角形面积公式的推导过程是什么？

Answer 1

椭圆焦点三角形面积公式的推导过程是对于焦点△F1PF2，设∠F1PF2=θ，PF1=m，PF2=n，则m+n=2a。椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P为定点组成的三角形。

在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形。在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质。

运用公式：

设P为椭圆上的任意一点。

角F2F1P=α ，F1F2P=β， F1PF2=θ。

则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)。

焦点三角形面积S=b^2*(tan(θ/2))。

证明方法：

对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n。

则m+n=2a。

在△F1PF2中,由余弦定理:

(正弦定理的三角形面积公式)。