Question

已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1) （1）若a=2,解不等式丨f(x)丨≥1 （2）如果对于任意x∈[3,+∞）都有f(x)≥1

接上 成立，试求实数a的取值范围
急急，谢谢了

Answer 1

你好！（建议楼主画出图形来分析，比较好理解）
1）因为log2 1/2=-1,log2 2=1
所以当丨f(x)丨≥1 时
x属于【2，+∞）或（0,1/2】
2）因为log3 3=1
所以当f(x)≥1时
0<a<=3,a不等于1成立

追问

谢谢，但是为什么log2 1/2=-1,log2 2=1？？这个不太懂诶

追答

就是log(2 )(1/2)=log(2) (2^(-1))=-1,你可以验证的2^-1=1/2,2^1=2
对数的公式一定要牢记，记住以下公式，这类题目一般就没问题了
　①loga(1)=0； 　　②loga(a)=1； 　　③负数与零无对数.
运算法则
①loga(MN)=logaM+logaN； 　　②loga(M/N)=logaM－logaN；
③对logaM中M的n次方有=nlogaM；
基本性质： 　　1、a^(log(a)(b))=b 　　2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　　3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

Answer 2

解：当a＞1时，对于任意x∈[3，+∞），都有f（x）＞0．
所以，|f（x）|=f（x），而f（x）=logax在[3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈[3，+∞），有f（x）≥loga3．
因此，要使|f（x）|≥1对于任意x∈[3，+∞）都成立．
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3．
当0＜a＜1时，对于x∈[3，+∞），有f（x）＜0，
∴|f（x）|=-f（x）．
∵f（x）=logax在[3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在[3，+∞）上为增函数．
∴对于任意x∈[3，+∞）都有|f（x）|=-f（x）≥-loga3．
因此，要使|f（x）|≥1对于任意x∈[3，+∞）都成立，
只要-loga3≥1成立即可，
∴loga3≤-1=loga ，即 ≤3，∴ ≤a＜1．
综上，使|f（x）|≥1对任意x∈[3，+∞）都成立的a的取值范围是：（1，3]∪[ ，1）．