Question

已知函数f(x)满足f（logaX)=a/a^2-1(X-X^-1),其中a>0,且a不等于1

已知函数f(x)满足f（logaX)=a/a^2-1(X-X^-1),其中a>0,且a不等于1

求f（x）的解析式
当f（x）的定义域为（-1，1）解关于m的不等式f(1-m)+f(1-m^2)

Answer 1

(1)解：令t=log a ^x,则x=a^t,(t属于R），
所以f（t）=【a/（a^2-1）】*（a^t-1/a^t)
即f（x）=[a/(a^2-1)]*(a^x-1/a^x),x属于R
（2)题目不完整 应该是解关于m的不等式f(1-m)+f(1-m^2)<0吧？？？解：当a>1时，a/(a^2-1) >0,a^t单调递增，-1/a^t单调递增，故f（x）单调递增
当0<a<1时，a/(a^2-1)<0, a^t单调递减，-1/a^t单调递减，（a^t-1/a^t）递减，故f（x）递增
综上所述，f（x）为增函数
还有一种证明方法是用导数
f(x)=[a/(a^2-1)](a^x-1/a^x)(a>0且a≠1)
f(-x)=[a/(a^2-1)](a^-x-1/a^-x)(a>0且a≠1)
=[a/(a^2-1)](1/a^x-a^x)
=-[a/(a^2-1)](a^x-1/a^x)
=-f(x)
∴该函数为R上奇函数f(1-m)=f[-(m-1)]=-f(m-1)因为x∈(-1,1) 所以(1-m),(1-m^2)都要∈(-1,1)
①当a∈(0,1) 可以解出m∈(-2,1)
和定义域交下就是m∈(0,√2)
②当a∈(1,+∞)时解出来也是一样的
∴综上m∈(0,√2)
最后答案不知道有没有错 你算一下

Answer 2

提示：令t=logaX