求助一个高等数学问题

A是对f(x)g(x)dx已知上下限的定积分,g(x)表达的是在积分上下限内不同的x通过f(x)推导目标值A的一个权重,或者说加权的函数。通过实验测得了一系列A值与f(x... A是对f(x)g(x)dx已知上下限的定积分,g(x)表达的是在积分上下限内不同的x通过f(x)推导目标值A的一个权重,或者说加权的函数。通过实验测得了一系列A值与f(x)函数之间的对应关系,我想基于这些实验数据估计g(x)这个函数(比如让实验得到的A值与按照实验所得到的f(x)函数估算出来的A'之间的差值平方和最小,也就是最小二乘原则)。请问以上我所说的问题在数学中是什么样的一个概念或问题?该用什么方法去解决呢?是不是可以用某种积分变换来解决?谢谢。
补充:我说的通过实验得到的一些列f(x)函数,其实就是一系列离散的x - f(x)的对应关系,可以用四次多项式很好的拟合,所以可以认为f(x)函数其实就是一系列系数不同的四次多项式函数。
第一句话重新说一下: 量A与函数f(x)之间有关系 A = 对f(x)g(x)dx已知上下限的定积分
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电灯剑客
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2011-10-31 · 智能家居/数码/手机/智能家电产品都懂点
知道大有可为答主
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这是数值逼近中的反问题,本质上可以转化到数值微分问题
A是关于积分上下限的函数,可以先固定其中一个,比如说下限为0,令
A(x) = \int_0^x f(t)g(t)dt
通过一定的采样(x_i, A(x_i))之后拟合出数值导数A'(x),然后利用A'(x)=f(x)g(x)就可以还原出g(x)。

数值微分这一步比较麻烦,为了保证稳定性需要用到正则化,其结果相当于是拟合{(x_i, A(x_i))}的一个三次样条函数的导数。如果你没有相关知识的话就需要去看一下数值微分的文献,不然这一步很容易出问题。

另外,这里\int f(x)g(x)dx只是普通的内积,可能不适合用积分变换,积分变换处理卷积比较好。
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追问
非常感谢你的回复。但是我不是很理解将A通过积分上限变成变量而成为关于x的函数这一步,因为积分的上下限是已知确定的。每次实验中A和f(x)都是能够确定的,也就是说:
A1 = \int_x1^x2 f1(x)g(x) dx
A2 = \int_x1^x2 f2(x)g(x) dx
...
An = \int_x1^x2 fn(x)g(x) dx
满足上面每个单独的式子的g(x)有可能是多解的吧,如果限定一下g(x)的类型,是否会确定?该怎么求呢?这样通过多次重复实验,是否可以作一个最佳估计?
追答
那就是另一个问题了,我原先的回答是基于一个固定的f取很多个不同的区间来确定g,你现在是给定了区间取不同的f。
这个相对简单一点,当然也看你取的f_k(x)有没有什么约束。
如果可以随便挑选f_k(x),最好就取L^2[x1,x2]上的标准正交基,比如三角函数cos(kx), sin(kx)系,或者Legendre多项式,这样的话A_k相当于g(x)按{f_k(x)}展开的系数,当n增加的时候肯定是趋于收敛的。
如果f_k(x)有一定的限制的话就要额外算f_k(x)之间的内积,还需要解一步线性方程组。
姚鑫宇12
2011-10-31
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uzhi
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小老杜db
2011-10-31
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快乐
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1044853271
2011-10-31
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不知道
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