Question

有道坑爹的数学题，求高手解答~

一日老王醉酒回家，认不清自己的家门，因为他的家门与周围四家房门完全一样，于是他就随意敲门，若敲错房门，则被该家男主人一脚踢出，且被踢的大叫一声。老王的家人每次0.2的概率听到老王的叫声，若听到则出门将老王接回家中，若听不到，则老王继续在五家房门中随意敲门。求老王在回家是平均被踢了多少次？

Answer 1

老王是醉酒，他敲错门被踢出来后肯定不记得敲过哪道门，所以每次敲门都是独立事件。
我之前确实算错了，跟正一下
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不挨踢的概率为1/5=3000/15000
挨一次踢的概率为4/5 x1/5 + 4/5 x4/5 x1/5=4/5x1/5 x(1+4/5)=4/5x(1-4/5) x(1+4/5)=4/5x(1-16/25)
挨两次踢的概率为
4/5 x4/5 x4/5 x1/5 +4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x1/5=4/5 x4/5 x4/5 x1/5(1+4/5)=(4/5)^3 x1/5 x(1+4/5)=(4/5)^3 x(1-16/25)
挨三次踢的概率为(4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x1/5) + (4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x1/5)=(4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x1/5) x (1+4/5)= (4/5)^5 x1/5 x(1+4/5)=(4/5)^5 x(1-16/25)

所以通项公式应该是
挨n次踢的概率为（4/5)^（2n-1）x(9/25） n>0

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被踢N次的概率为：（4/5)^（2n-1）x(9/25）
则：平均被踢次数为：∑n* (4/5)^(2n-1)*9/25=(9/25)*∑n*(4/5)^(2n-1) (n∈自然数)

∑=0.8+2*0.8^3+... ...+n*0.8^(2n-1) （1）式
两边乘0.8²得到：
0.64∑=0.8^3+2*0.8^5... ...+(n-1)*0.8^(2n-1)+n*0.8^(2n+1) （2）式
（1）-（2）
得：0.36∑=0.8+0.8^3+0.8^5+0.8^(2n-1)-n*0.8^(2n+1)
=0.8*(1-0.64^n)/(1-0.64)-n*0.8^(2n+1)
∵（n→+∞） lim n*0.8^(2n+1)=0
∴ 0.36∑=0.8*(1-0.64^n)/(1-0.64)=20/9
∑=500/81
平均被踢次数：9/25*∑=(9*500)/(25*81)=20/9≈2.2222 （次）

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顺便问下，这题目来自何处，不像是高中生的题啊。

Answer 2

楼上的通项公式有问题，挨一次踢的概率应该等于第一次踢完后被家人发现加上第一次踢完后家人没有发现但自己走对了的概率。
不挨踢的概率为1/5=3000/15000
挨一次踢的概率为4/5 x1/5 + 4/5 x4/5 x1/5=4/5x1/5 x(1+4/5)=4/5x(1-4/5) x(1+4/5)=4/5x(1-16/25)
挨两次踢的概率为
4/5 x4/5 x4/5 x1/5 +4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x1/5=4/5 x4/5 x4/5 x1/5(1+4/5)=(4/5)^3 x1/5 x(1+4/5)=(4/5)^3 x(1-16/25)
挨三次踢的概率为(4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x1/5) + (4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x1/5)=(4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x4/5 x1/5) x (1+4/5)= (4/5)^5 x1/5 x(1+4/5)=(4/5)^5 x(1-16/25)

所以通项公式应该是
挨n次踢的概率为（4/5)^（2n-1）x(9/25） n>0

追问

怎么这么复杂啊，头疼~~~

追答

平均踢2点几次。

Answer 3

真TMD坑爹，谁出的题？