Question

在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF//DC交BC于F，求EF的长

Answer 1

过点D作DG⊥BC交BC于点G，过点A作AH∥CD交BC于点H
∵EF∥CD，AH∥CD
∴EF∥AH
∵E是AB中点
∴EF是中位线，即EF=1/2AH
∵AH∥CD，AD∥CH
∴四边形AHCD是平行四边形
∴AH=CD
∴EF=1/2CD
∵DG⊥BC，∠B=90°
∴AB∥DG
∵AD∥BG
∴四边形ABGD是平行四边形
∴BG=AD=1
∴CG=BC-BG=3
在Rt△CDG中，∵∠C=45°，CG=3
∴CD=3√2
∴EF=1/2CD=3/2√2

Answer 2

解：如图1，过点D作DG⊥BC于点G．
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90度．
可得四边形ABGD为矩形．
∴BG=AD=1，AB=DG．
∵BC=4，
∴GC=3．
∵∠DGC=90°，∠C=45°，
∴∠CDG=45度．
∴DG=GC=3．
∴AB=3．
又∵E为AB中点，
∴BE= 1/2AB= 3/2．
∵EF∥DC，
∴∠EFB=45度．
在△BEF中，∠B=90度．
∴EF= BE/sin45°= 3/2根号2．

Answer 3

EF长√4.5.
解：从在梯形ABCD的D点出发作BC的垂线，垂足为G。
在RT△DGC中，∠G=90°，∠C=45°
所以RT△DGC是等腰直角三角形，DG=GC
在长方形ABGD中，AD=BG,AB=DG,又AD=1，BC=4，
故AD=BG=1,GC=BC-BG=3
又DG=GC,所以，DG=3
因为，E为AB中点，EF//DC，且∠B=90°，∠C=45°
所以，在RT△EBG中，∠BFE=45°.
所以RT△EBG是等腰直角三角形，BE=BF＝1/2AB=1.5
EF=√BE的平方+BF的平方＝√4.5

Answer 4

EF长√4.5.
解：从在梯形ABCD的D点出发作BC的垂线，垂足为G。
在RT△DGC中，∠G=90°，∠C=45°
所以RT△DGC是等腰直角三角形，DG=GC
在长方形ABGD中，AD=BG,AB=DG,又AD=1，BC=4，
故AD=BG=1,GC=BC-BG=3
又DG=GC,所以，DG=3
因为，E为AB中点，EF//DC，且∠B=90°，∠C=45°
所以，在RT△EBG中，∠BFE=45°.
所以RT△EBG是等腰直角三角形，BE=BF＝1/2AB=1.5
EF的平方=√BE的平方+BF的平方＝4.5
∴EF=√4.5