Question

如图，已知AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于E，AD⊥EC于D且交⊙O于F． （1）若EC=4，EB=2

Answer 1

解：（1）∵EC是⊙O的切线，
∴EC2=EB•AE，
∴AE=8，
∵AD⊥EC，EC是⊙O的切线，
∴∠ECO=∠EDA=90°
∴△ECO∽△EDA，
∴OCAD=EOEA，
∴AD= 245，
在Rt△ADE中，ED2=AE2-AD2= 325，
∴CD=ED-EC= 325-4= 125，
∵∠BFA=90°（直径所对的圆周角=90度），AD⊥ED，
∴BF∥ED，
∴△ABF∽△AED，
∴ AFAD= ABAE，
将AB=6，AD= 245，AE=8，代入得AF= 185
∴DF=AD-AF= 245- 185= 65；

（2）连接OC，BF 两直线的交点为N
∵AD⊥EC，OC⊥ED，
∴△BNO∽△BFA，
∴ AFON= ABBO，∴AF=2ON，
∵∠BFA=90°（直径所对的圆周角=90度），
∴四边形NCDF是个长方形，
∴DF=CN，
AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，
∵OC是半径，AB是直径，
∴AD+DF=AB．

Answer 2

EC的平方等于EB乘以EA。所以圆的直径是6，半径是3。