Question

已知函数f(x)=-x^2+2ax-1,x∈[-2,2]

求实数a的取值范围使函数f(x)在[-2,2]上是减函数,求函数f(x)的最大值g(a)并求g(a)的最小值

Answer 1

第1问：先配方，得对称轴为x=a,开口向下，而函数f(x)在[-2,2]上是减函数
所以a<=-2.
第2问对a 要分类讨论，分3种。

Answer 2

1.a小于等于-2
2.二次函数在给定区间的最值问题，考虑对称轴和给定区间的位置关系。由于此题给出的函数含字母，也就是说是动函数，并且，对称轴是x=a,因此，f(x)的最大值将是一个关于a的分段函数。即：
a小于等于-2，g(a)=f(-2)
a大于-2小于等于2，g(a)=f(a)
a大于2,g(a)=f(2)
整理一下把g(a)写成分段函数的形式，这样比较容易看，对下面的求解给出方便。
接下来求g(a)的最值问题也就是求g(a)这个分段函数的最小值，分别求每一段上的最小值，然后取其中最小的那个作为整个函数的最小值。

Answer 3

要使函数f(X)在[-2,2]上位减函数，f(X)的对称轴应在x=-2的左侧，即-2a/(2*(-1))<=-2
因此a≤-1
用公式法g(a)=a^2-1，所以最小值为0