如何求复合函数的单调性
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判断函数的单调性y = 1/( x^2-2x-3)。
设x^2-2x-3=t,
令x^2-2x-3=0,
解得:x=3或x=-1,
当x>3和x<-1时,t>0,
当-1<x<3时,t<0。
所以得到x^2-2x-1对称轴是1。
根据反比例函数性质:
在整个定义域上是1/t是减函数。
当t>0时,x>3时,
t是增函数,1/t是减函数,
所以(3,+∞)是减区间,
而x<-1时,t是减函数,
所以1/t是增函数。
因此(-∞,-1)是增区间,
当x<0时,
-1<x<1,t是减函数,
所以1/t是增函数,
因此(-1,1)是增区间,
而1<x<3时,t是增函数,1/t是减函数,
因此(1,3)是减区间,
得到增区间是(-∞,-1)和(-1,1),
(1,3)和(3,+∞)是减区间。
给个例题 自己对照着看吧
设x^2-2x-3=t,
令x^2-2x-3=0,
解得:x=3或x=-1,
当x>3和x<-1时,t>0,
当-1<x<3时,t<0。
所以得到x^2-2x-1对称轴是1。
根据反比例函数性质:
在整个定义域上是1/t是减函数。
当t>0时,x>3时,
t是增函数,1/t是减函数,
所以(3,+∞)是减区间,
而x<-1时,t是减函数,
所以1/t是增函数。
因此(-∞,-1)是增区间,
当x<0时,
-1<x<1,t是减函数,
所以1/t是增函数,
因此(-1,1)是增区间,
而1<x<3时,t是增函数,1/t是减函数,
因此(1,3)是减区间,
得到增区间是(-∞,-1)和(-1,1),
(1,3)和(3,+∞)是减区间。
给个例题 自己对照着看吧
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这种题目往往分两层,分开考虑,若内层与外层函数有同样的单调性,则复合函数为增函数
若内层与外层函数有相反的单调性,则复合函数为减函数
例子:求f(x)=2^(x^2+2x+1)的单调性。
解:f(x)=2^u 外层函数
u=x^2+2x+1 内层函数
外层函数为增函数,所以只需考察内层函数的单调性:当x<-1时为减,当x>-1时为增
所以f(x)=2^(x^2+2x+1)当x>-1时为增,当x<-1时为减
若内层与外层函数有相反的单调性,则复合函数为减函数
例子:求f(x)=2^(x^2+2x+1)的单调性。
解:f(x)=2^u 外层函数
u=x^2+2x+1 内层函数
外层函数为增函数,所以只需考察内层函数的单调性:当x<-1时为减,当x>-1时为增
所以f(x)=2^(x^2+2x+1)当x>-1时为增,当x<-1时为减
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在定义域内任意取两个值,x1、x2,则必定存在大小关系,假设x1<x2
计算出f(x1)和f(x2)
然后用f(x1)-f(x2),如果大于0,则f(x1)>f(x2),则为减函数,反之为增函数;
也可用f(x1)/f(x2),如果大于1,则f(x1)>f(x2),则为减函数,反之为增函数
至于具体采用减还是除,一般正比列函数用减,反比咧函数用除,但也要具体问题具体分析。
计算出f(x1)和f(x2)
然后用f(x1)-f(x2),如果大于0,则f(x1)>f(x2),则为减函数,反之为增函数;
也可用f(x1)/f(x2),如果大于1,则f(x1)>f(x2),则为减函数,反之为增函数
至于具体采用减还是除,一般正比列函数用减,反比咧函数用除,但也要具体问题具体分析。
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先判断两个两个基本函数,如果两个函数都是单调递增函数,则复合函数就是增函数。同样,如果两个简单函数都是减函数,则也复合函数也是增函数
例子:求f(x)=2^(x^2+2x+1)的单调性。
解:f(x)=2^u 外层函数
u=x^2+2x+1 内层函数
外层函数为增函数,所以只需考察内层函数的单调性:当x<-1时为减,当x>-1时为增
所以f(x)=2^(x^2+2x+1)当x>-1时为增,当x<-1时为减
例子:求f(x)=2^(x^2+2x+1)的单调性。
解:f(x)=2^u 外层函数
u=x^2+2x+1 内层函数
外层函数为增函数,所以只需考察内层函数的单调性:当x<-1时为减,当x>-1时为增
所以f(x)=2^(x^2+2x+1)当x>-1时为增,当x<-1时为减
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很简单,先判断两个两个基本函数,如果两个函数都是单调递增函数,则复合函数就是增函数。同样,如果两个简单函数都是减函数,则也复合函数也是增函数;相反,一个是增函数,一个是减函数,则是复合函数是减函数。简单一句话:同增异减。
希望我的回答能帮助你!
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