Question

如图,三角形ABC的三个顶点都在圆O上,AP垂直于BC于点P，AM为圆O的直径。 求证：∠BAM=∠CAP

具体的证明步骤是什么？谢谢！

Answer 1

连接BM，因为直径所对的圆周角是直角，则三角形ABM是直角三角形，∠BAM与∠BMA互余，∠CAP与角C互余，而∠BMA和∠C都是弧AB所对的圆周角，∠BMA=∠C

Answer 2

∠CAP=90°-∠ACP
∠BAM=90°-∠AMB
又因为∠ACB=∠AMB
所以∠ACP=∠AMB
故∠CAP=∠BAM

Answer 3

作辅助线，连接BM，对比三角形ABM 与三角形 ABC ，发现∠BMA=∠BCA，因为都是圆弧AB对应的顶角；
同时，∠ABM=∠APC=90度，于是∠BAM=180-∠ABM（90度）-∠BMA = 180-∠APC（90度）-∠BCA
证毕。

追问

∠BMA不等于∠BCA吧？

Answer 4

连接MC .则∠BAM=∠BCM(圆周角定理)，∠MCA= 90度。∠BCM +∠PCA = 90度，∠CAP + ∠PCA = 90 度。可证∠BAM=∠CAP