求微分方程y″-3y′+2y=2xe x 的通解．
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对应齐次方程y″-3y′+2y=0的特征方程为
λ 2 -3λ+2=0，
解得特征根为λ 1 =1，λ 2 =2．
所以齐次微分方程y″-3y′+2y=0的通解为 y1=C 1 e x +C 2 e 2x ．
因为非齐次项为 f（x）=2xe x ，且 a=1 是特征方程的单重根，
故设原方程的一个特解为y * =x（ax+b）e x ，
代入原方程得：
a=-1，b=-2，
故特解为y * =x（-x-2）e x ．
所以原方程通解为
y=y 1 +y*=C 1 e x +C 2 e 2x +x（-x-2）e x ．
λ 2 -3λ+2=0，
解得特征根为λ 1 =1，λ 2 =2．
所以齐次微分方程y″-3y′+2y=0的通解为 y1=C 1 e x +C 2 e 2x ．
因为非齐次项为 f（x）=2xe x ，且 a=1 是特征方程的单重根，
故设原方程的一个特解为y * =x（ax+b）e x ，
代入原方程得：
a=-1，b=-2，
故特解为y * =x（-x-2）e x ．
所以原方程通解为
y=y 1 +y*=C 1 e x +C 2 e 2x +x（-x-2）e x ．
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