Question

一道高数题, 分段函数求导,连续性问题

分段函数
f(x) =
[φ(x) - cos x]/x x=/=0
a x=0

1.求常数a的值 , 使f(x) 在 x=0 处连续;
2.求f'(x).

这道题的1.
lim(x->0)f(x) = lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x =然後...??

为甚麼要一定要用洛必达法则??
而用等价代换就不可以计出答案
答案a = φ'(0)???
为甚麼这裏不可以用等价代换????
还有这道题的2怎样计...???

小弟概念方面认识得不深入, 可能会说出很多笨话..望各位高手赐教
问题少了一个条件..
φ具有二阶连续导数, 且φ(0) = 1.

Answer 1

这道题的1，
因为这裏不知道φ(x) - cos x与谁等价，所以我们无法用等价代换，
就是说，现在我们不知道该用谁代换φ(x) - cos x，
而题目中的条件“φ具有二阶连续导数”，保证了“φ具有一阶导数”，从而可以对φ求导数，
所以想到用洛必达法则解决问题，
lim(x->0)f(x)
= lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x
= lim(x->0) (φ'(x)+sin x )/1
= lim(x->0) (φ'(x)+sin x )
= φ'(0)，（此处lim(x->0) φ'(x)=φ'(0)用到条件“φ具有一阶连续导数”，这由原条件“φ具有二阶连续导数”可以保证）
要使f(x) 在 x=0 处连续，就要成立lim(x->0)f(x) =f(0) ，（此处用到连续的定义）
所以要有a= f(0) =φ'(0)。

这道题的2，涉及到分段函数在分段点的导数应该从导数的定义求，
当x≠0，可以用导数的公式求出f '(x)=★，略，此处同lanlovelanlan的回答，
当x=0，用导数的定义求，
f '(0)=lim(x->0) [f(x)-f(0)] / (x-0)
=lim(x->0) [(1/x)*(φ(x) - cos x) -φ'(0)] / x
=lim(x->0) [φ(x) - cosx -xφ'(0)] / x^2
=lim(x->0) [φ'(x)+sinx -φ'(0)] / 2x （用洛必达法则）
=lim(x->0) [φ''(x)+cosx ] / 2 （再用洛必达法则）
=[φ''(0)+1] / 2 （此处用到“φ具有二阶连续导数”）
则这道题的2，所求
f '(x) =
★， 当x≠0；
[φ''(0)+1] / 2， 当x=0。

说明，这个题目的概念和方法方面确实都很强，
其中“φ具有二阶连续导数”是很强的条件，
还有条件“φ(0) = 1”，
在分析最初的极限lim(x->0)f(x)=lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x时就用上了，
方法方面，用到了分段函数在分段点的导数需要从导数的定义来求。

另外，以下录lanlovelanlan的回答作一点儿修改，注意▲处，
修改①，
“因为分母X已经趋向于0了，题目要求连续，就说明▲（导数）<应该为>（极限）一定存在，所以分子必须趋向于0，等价代换是在正常情况下的代换，出现这种分母为0的情况，一定分子也趋向于0，不然▲（导数）<应该为>（极限）不存在，然后再用罗比达法则。
lim(x->0)f(x) = lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x = lim(x->0)（φ'(x）+sinx）/1= (φ'(0)+0)/1=φ'(0)
▲（导数）<应该为>（极限值）与▲（值）<应该为>（函数值）相等才连续 所以a=φ'(0)
修改②，
你加上这个条件更好解释 ，x趋于0的时候分母趋于0，分子1-1也是趋于0, 0比0型▲（一定要用）<事实上>（不一定用）罗比达法则。
修改③，
f'(x) =
[φ'(x)+sinx]x-(φ(x) - cos x)/(x^2) x=/=0
▲（0）<应该为>（[φ''(0)+1] / 2） x=0

Answer 2

因为分母X已经趋向于0了，题目要求连续，就说明导数一定存在，所以分子必须趋向于0，等价代换是在正常情况下的代换，出现这种分母为0的情况，一定分子也趋向于0，不然导数不存在，然后再用罗比达法则。
lim(x->0)f(x) = lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x = lim(x->0)（φ'(x）+sinx）/1= (φ'(0)+0)/1=φ'(0)
导数与值相等才连续 所以a=φ'(0)

你加上这个条件更好解释 ，x趋于0的时候分母趋于0，分子1-1也是趋于0, 0比0型一定要用罗比达法则。

f'(x) =
[φ'(x)+sinx]x-(φ(x) - cos x)/(x^2) x=/=0
0 x=0

Answer 3

等价代换怎么换啊？φ（x）的具体表达式都不知道怎么用等价代换啊