Question

设3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，a1，a2，a3依次对应的特征向量设方阵B=A*-2A+3I,求B^-1的特征值及det(B^-1

请帮我回答，要详细的过程

Answer 1

因为3阶矩阵A的特征值为1，2，-3
所以 |A| = 1*2*(-3) = -6.

若λ是A的特征值, a是A的属于λ的特征向量, 则 Aa = λa
两边左乘A*, 得 λA*a = A*Aa = |A| a
所以当 λ≠0 时, A*a = (|A|/λ)a
所以 Ba = A*a -2Aa+3a = (|A|/λ-2λ+3)a
所以B的特征值为: |A|/λ-2λ+3.

再由A的特征值为1,2,-3, |A|=-6
得B的特征值为 -5, -4, 11.
所以 |B| = (-5)*(-4)*11 = 220.

追问

若λ是A的特征值, a是A的属于λ的特征向量, 则 Aa = λa
两边左乘A*, 得 λA*a = A*Aa = |A| a
所以当 λ≠0 时, A*a = (|A|/λ)a
这几步不太懂。

追答

若λ是A的特征值, a是A的属于λ的特征向量, 则 Aa = λa
---这是定义
两边左乘A*, 得 λA*a = A*Aa = |A| a
--矩阵的乘法, 用到一个公式 A*A = |A|E
所以当 λ≠0 时, A*a = (|A|/λ)a
--由上式显然

得B的特征值为 -5, -4, 11.
所以 |B| = (-5)*(-4)*11 = 220.
所以
得B^-1的特征值为 -1/5, -1/4, 1/11.
所以 |B^-1| = |B|^-1 = 1/220.

Answer 2

|A|=-6
A*的特征值为|A|/1=-6,|A|/2=-3,|A|/(-3)=2
B的特征值为-6-2+3=-1
-3-2+3=-2
2-2+3=3
B^(-1)的特征值为-1,-1/2,1/3
|B^(-1)|=-1X(-1/2)X(1/3)=1/6