Question

已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0)

已知:抛线物y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0).
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D的抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的内侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
同侧同侧，打错了…………

Answer 1

1)∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）
∴a(-1)2+4a(-1)+t=0
∴t=3a
∴y=ax2+4ax+3a
∴D(0,3a)
令a（x2+4x+3)=0
得x=-1或-3
所以另一交点B的坐标为（-3，0）.
∵在梯形ABCD中，AB‖CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上
∴由抛物线对称性可知C（-4，3a）
∴AB=2,CD=4.又梯形ABCD的面积为9
∴1/2*（AB+CD）·OD=9
∴1/2*（2+4）·|3a|=9
解得a=±1
∴所求抛物线的解析式为：y=x2+4x+3,或y=-x2-4x-3
(2)设点E的坐标为（x0,y0）
依题意，得x0<0,y0>0,且|y0|/| x0|=5/2
∴y0=-5/2*x0
设点E在抛物线y=x2+4x+3上
则y0=x02+4x0+3
联立y0=-5/2*x0
解方程组得x0=-6 y0=15;x′0=-1/2,y′0=5/4
∵点E与点A在对称轴x=-2同侧
∴点E坐标为（-1/2，5/4)
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P，使△APE的周长最小
∵AE长为定值
∴要使△APE的周长最小，只需PA+PE最小
∵点A关于对称轴x=-2的对称点是B（-3，0）
∴P是直线BE与对称轴x=-2的交点
设过点E、B的直线解析式为y=mx+n
-1/2m+n=5/4,
-3m+n=0
解得m=1/2,n=3/2
所以直线BE的解析式为y=(1/2)*x+3/2
把x=-2带入得y=1/2
所以点P的坐标为(-2,1/2)
当点E在抛物线y=－x2－4x－3上时
y0=－x02－4x0－3
y0=(-5/2)x0
方程组无解
即此时E点不存在
抛物线的对称轴上是否存在点P(-2,1/2)，使三角形APE的周长最小

Answer 2

E在抛物线上,在第二象限,到x轴、y轴的距离的比为5:2,可算出E为（-0.5,1.25）找出A关于对称轴的对称点为B,连接BE交对称轴于点P即是所求因为AP一定,BP=AP,只需BP+PE最小,三角形两边之和大于第三边,三点在一条直线上时最小

Answer 3

1.代入y(-1）=0得，t-3a=0 => t=3a. =>y(x)=ax2+4ax+3a=a(x+3)(x+1).于是，B=(-3,0).
2 D=y（0)=3a. 设c=(-b,3a)(因为与D平行），由抛物线性质，-b+0=-1-3. b=4;
Sabcd=(4+2)*3a/2=9, a=1
3 E满足的方程 2y+5x=0;
A与E 内侧？应该是同侧的意思吧，异测直接连线求交点即可。E为（-0.5,1.25）
因为A关于对称轴的对称点为B，求BE与对称轴的交点即是P.为什么不解释，求解留给你吧，祝好

追问

同侧同侧，打错了…………