Question

已知椭圆x2/8+y2/4=1,求斜率为2的弦的中点的轨迹方程

Answer 1

设椭圆 x²/8+y²/4=1 的弦为AB，A.B的坐标分别是（x1,y1) (x2,y2)
因为AB的斜率为2，设AB所在直线的方程是　y=2x+b
代入椭圆方程，得
x²+2(2x+b)²=8
x²+8x²+8bx+2b²=8
9x²+8bx+2b²-8=0
由于，A,B在椭圆上，因此 x1,x2是这个方程的两个根
x1+x2= -8b/9
y1+y2=2(x1+x2)+2b =-16b/9+2b=2b/9

设AB的中点为P（x,y)
则
x=(x1+x2)2
y=（y1+y2)/2
那么 y/x=（2b/9)/(-8b/9)=-1/4
所以，所求的AB中点的轨迹方程是
y=-1/4 x

Answer 2

设直线和椭圆相交于A、B二点，A（x1,y1),B(x2,y2),
x1^2/8+y1^2/4=1,(1)
x2^2/8+y2^2/4=1,(2)
(1)-(2),
1/8+(1/4)[(y2-y1)/(x2-x1)]*{[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]}=0
其中(y2-y1)/(x2-x1)=2,
设中点M（x0,y0),
y0=(y1+y2)/2,x0=(x1+x2)/2,
1/2+2*y0/x0=0,
y0/x0=-1/4,
用y,x替换y0,x0,
∴斜率为2的弦的中点轨迹方程为：y/x=-1/4,
y=-x/4. 是直线。