Question

如图， 圆O是三角形ABC的外接圆，AB是圆O的直径，D是AB延长线上的一点AE⊥DC交DC的延长线于点E，

且AC平分∠EAB，(1)求证：DE是圆O的切线,(2)若AB=6，AE=4，求BC和BD的长

Answer 1

1）证明：
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°，圆心O是AB的中点
∴∠ECA+∠DCB=90°
连接OC
∵AE⊥DC，AC平分∠EAB
∴∠ECA=90°-∠EAC= 90°- ∠BAC=∠OBC
∵∠OBC=∠OCB
∴∠ECA=∠OCB
∴∠OCB+∠DCB=90°
即OC⊥DE
∴DE是圆O的切线
2）解：
由上述结论可知
Rt△AED∽Rt△OCD
∴AE/OC=AD/OD
即4/3=（6+BD）/（3+BD）
解得BD=6
∵Rt△AEC∽Rt△ACB
∴AE/AC=AC/AB
即4/AC=AC/6
解得AC=2√6
∴BC^2=AB^2-AC^2=6^2-(2√6)^2=12
∴BC=2√3

Answer 2

1）证明：
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°，圆心O是AB的中点
∴∠ECA+∠DCB=90°
连接OC
∵AE⊥DC，AC平分∠EAB
∴∠ECA=90°-∠EAC= 90°- ∠BAC=∠OBC
∵∠OBC=∠OCB
∴∠ECA=∠OCB
∴∠OCB+∠DCB=90°
即OC⊥DE
∴DE是圆O的切线
2）解：
由上述结论可知
Rt△AED∽Rt△OCD
∴AE/OC=AD/OD
即4/3=（6+BD）/（3+BD）
解得BD=6