Question

已知f′(x)>f(x)

(1)求证 当x>0时 f(x)>(e^x)*f(0)
(2)若f(0)=1 求证 f(ln1/2)+f(ln2/3)+f(ln3/4)+……+f(ln(n-1)/n)<1/n (n∈N+,n>2)

Answer 1

1.
f'(x)>f(x),
f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)>0
当x>0时,在[0,x]积分,由定积分的性质得
∫_0^x [f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)]dx>0,
而∫_0^x [f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)]dx=f(x)e^(-x)|_0^x=f(x)e^(-x)-f(0)
于是f(x)e^(-x)-f(0)>0,即有f(x)>(e^x)*f(0).
2. 当x<0时 f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)>0 两边积分
∫_x^0 [f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)]dx>0,
得-f(x)e^(-x)+f(0)>0,于是有f(x)<(e^x)*f(0)=e^x.
于是当0<x<1时,有f(lnx)<x. 本人无能,只能得出
f(ln1/2)+f(ln2/3)+f(ln3/4)+…+f(ln(n-1)/n)<1/2+2/3+…+(n-1)/n.
()希望破砖头能引出美玉)

Answer 2

wosaodjsofjdnfnv