Question

正方体ABCD-A"B"C"D"中,二面角B-A"C-A的大小为?

Answer 1

设该正方体的棱长为a.
由已知,△A"BC为Rt△,且A"C = √3 a ,A"B = √2 a ,BC = a,∠A"BC = 90°.
取 AC的中点O,
连BO,则 BO ⊥ AC.
而平面ABCD ⊥ 平面 A"CA ,这两面的交线为AC, 且 点B在平面 ABCD 内,
∴ 点B在平面A"CA 内的射影为点O.
∴ △A"BC 在 平面 A"CA 内的射影为 △A"OC.
∴ 若设二面角B-A"C-A的大小x,
则有（△A"BC的面积）× cosx = （△A"OC的面积）
∵ △A"BC 的面积S1 = （1/2）× A" B × BC
= （1/2）森枣× （√2 a） × a
= (√2 / 2 ) a的平方

又 ∵ △A"OC 的面积S2 = （1/2）× A" A × OC
= （1/2） × a ×（√2/2 a）段老
= (√2 / 4 ) a的平方

∴ cosx = S2 /此燃拆 S1
= [ (√2 / 4 ) a的平方 ] / [ (√2 / 2 ) a的平方 ]
= 1 / 2
∴ x = 60° 或 π / 3 .