Question

已知f（x）是定义域在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m，n∈[-1，1]，m+n≠0，

都有[f（m）+f（n）]/（m+n）>0（1）解不等式f（x+1/2）<f（1-x），（2）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围

Answer 1

对于任意的m，n∈[-1，1]，m+n≠0， 都有[f（m）+f（n）]/（m+n）>0
说明f'(x)>0
f(x)是定义域上增函数，
f（x+1/2）<f（1-x）
即：x+1/2<1-x
x<1/4
定义域为[-1,1],所以：-1<=x<1/4

由f(x)是定义域上增函数知:f(x)<=f(1)=1
若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立

t2-2at+1>=1
t^2-at>=0
t(t-a)>=0
若0<=a<=1
t>=a或t<=0
若-1<=a<=0
t>=0或t<=a

Answer 2

设0<=m<n<=1;
那么f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)
注意到[f(n)+f(-m)]/[n+(-m)]>0,n-m>0;
所以f(n)-f(m)>0; 故函数在[0,1]上严格单调递增。
注意到f是奇函数，f(0)=-f(-0)=-f(0) f(0)=0;
所以f在[-1,1]上单调递增。
1） 所以不等式等价于 -1<=x+1/2<1-x<=1
解得 0<=x<1/4;
2) 显然f在[-1,1]上最大值在1处取得，为1
故1<=t^2-2at+1;
即t^2-2at>=0
t(t-2a)>=0;
若t>0,则t-2a>=0 对a∈[-1，1]恒成立 所以t>=2;
若t=0，不等式恒成立；
若t<0.则t-2a<=0 对a∈[-1，1]恒成立 所以t<=-2;
综上 t<=-2或者t=0或者t>=2;

追问

第一问不对

追答

题目是f（x+1/2）<f（1-x），还是f（（x+1）/2）<f（1-x）？
前者的话，是对的。

Answer 3

先求f（x）在x∈[-1，1]上的最大值，比如说是w，再在t2-2at+1≤w中把a提出来，参变量分离