实数xy满足：4x^2-5xy+4y^2=5,求（x^2+y^2）^2-(x^2+y^2)+1的最大值与最小值
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设x²+y²=r，则4x²-5xy+4y²=5变换为4r-5xy=5，xy=(4r-5)/5，
因为(x-y)²=x²+y²-2xy≥0，
所以x²+y²≥2xy，
则r=x²+y²≥2xy=2(4r-5)/5，
整理得r≤10/3；
因为(x+y)²=x²+2xy+y²≥0，
所以r+2xy=r+2(4r-5)/5≥0，
整理得r≥10/13；
综上，10/13≤r≤10/3；
则所求函数为f(r)=r²-r+1=(r-1/2)²+3/4，
画图得知，f(r)在[10/13，10/3]上单调递增，
即最小值为f(10/13)=139/169；
最大值为f(10/3)=79/9。
因为(x-y)²=x²+y²-2xy≥0，
所以x²+y²≥2xy，
则r=x²+y²≥2xy=2(4r-5)/5，
整理得r≤10/3；
因为(x+y)²=x²+2xy+y²≥0，
所以r+2xy=r+2(4r-5)/5≥0，
整理得r≥10/13；
综上，10/13≤r≤10/3；
则所求函数为f(r)=r²-r+1=(r-1/2)²+3/4，
画图得知，f(r)在[10/13，10/3]上单调递增，
即最小值为f(10/13)=139/169；
最大值为f(10/3)=79/9。
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