Question

在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点M是AD的中点。点E是边AB上的一动点。连接EM并延长交射

在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点M是AD的中点。点E是边AB上的一动点。连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线BC的延长线于点G，连接EG，交边DC于点Q。设AE的长为x，三角形EMG的面积为y。
（1）求∠MEG的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）线段MG的中点记为点P，连接CP，若▲PGC~▲EFQ，求y的值。

没有学圆，要求过程，今晚就要急！！！可加分
图

Answer 1

延长GB交ME于H，三角形MAE与EBH相似，三角形FCH与HMG相似，利用相似定理，三角形边长比例一样，则MH=4*(根号（1+x平方）)/x，MG=(MH/HC)*FC=4*(根号（1+x平方）)，MEG的正切值=MG/MH=4；y=MG*ME/2=4*(1+x平方)，x=0～4；因为CG,PG和FE可以计算出来，那么FQ就能计算出来，利用比例公式可以计算x的值，然后可以计算y的值。

Answer 2

(1)过M作MN⊥BC于N
则∠AME+∠EMN=90°
∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
又∠A=∠MNG=90°
∴△AME∽△NMG
tan∠MEG = MG/ME = MN/AM = 4
(2)由(1)得MG=4ME
∴S(△EMG) = 1/2 * ME * MG = 2ME² = 2(x²+1)
∵G在BC延长线上
∴NG=4x > NC=1 即 x > 1/4
又E在AB上，∴x≤4
故 1/4 < x ≤ 4
(3)过P作PH⊥BG于H，过E作ER⊥CF于R
∵P是中点
∴PH=1/2 MN =2
∵△PGC∽△EFQ
且PH=ER=2【对应高相等】
∴△PGC≌△EFQ
∴FQ=CG=4x-1
QD = FQ-FD = 4x-1-x = 3x-1
CQ = 4 - QD = 5-3x
又△GCQ∽△GBE
∴GC/GB = CQ/BE
(4x-1) / (4x+1) = (5-3x) / (4-x)
解得 x = (3√2)/4
∴y= 2(x²+1) = 17/4