Question

椭圆x^2/16+y^2/4=1上的点到直线x+2y-根号2=0的最大距离是( )?

希望写的详细点 每一步都是怎么回事 谢谢

Answer 1

到直线x+2y-根号2=0的最大距离的点是平行于该直线且与椭圆相切的点，切线有两条，已知直线上经过一、二、四象限，一条切线过第一象限，另一切线经第三象限，则经过第三象限的切线的切点就是椭圆到已知直线的最大距离。
设与已知直线平行的直线方程为：y=-x/2+m,(斜率相同，但截距不同），
代入椭圆方程，x^2/16+(-x/2+m)^2=1,
5x^2+16mx+16m^2-16=0,
要使直线与二次曲线相切，则二次方程判别式△=0，
256m^2-320m^2+320=0,
m^=5,
m=±√5，
由上所述，已知直线与二切线间距离大的应该是在第三象限者，故选 m=-√5，
切线方程为:y=-x/2-√5，
在直线x+2y-√2=0上选择一特殊点A（√2，0），
根据点线距离公式，A点至直线x/2+y+√5=0，距离为：
∴d(max)=|√2/2+√5|/√（1/4+1）=（10+√5）/5。
在该切线上的切点就是椭圆至直线的最远点。

追问

可是结果是跟号10

追答

计算有误，I am sorry!
x^2/16+(-x/2+m)^2/4=1,（漏了4），
x^2-2mx+2m^2-8=0,
二次方程判别式△=0,
m=±2√2，由前所述取负值，
m=-2√2,
y=-x/2-2√2,
x/2+y+2√2=0
x+2y+4√2=0,
在直线x+2y-√2=0上选择一特殊点A（√2，0），
A至切线距离就是椭圆至直线的最大距离，
∴d(max)=|√2+0+4√2|/√（1+4）=√10。

Answer 2

d设直线l:x＋2y+k=0
①x^2/16+y^2/4=1②将①代入②得8y2+4ky+k^2-16=0③③式△=0,即16k^2-4*8(k^2-16)=0
得k=±4√2-√2-4√2=-5√2
,-√2+4√2=-3√2∴直线x＋2y-4√2=0
与椭圆的交点与直线L距离最大,为（-5√2
）/√5=√10

Answer 3

把椭圆方程用参数方程表示，很容易就知道了

Answer 4

√10