Question

二次函数f(x)满足f(0)=0,且f(x+1)-f(x)=-x+1/2

1. 求函数f（x） 2.是否存在m.n（m<n）使函数f（x）的定义域和值域分别为[m.n][2m.2n] 若存在求出mn的值 若不存在 说明理由

Answer 1

一楼错的。
（1）因为f(0)=0
所以设f(x)=ax²+bx，则f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)=ax²+(2a+b)x+a+b
则：f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=-x+1/2；
所以：2a=-1，a+b=1/2；
得：a=-1/2，b=1
所以：f(x)=-x²/2+x
（2）假设存在；
f(x)=-x²/2+x是一个开口向下，对称轴为x=1的二次抛物线；分类讨论：
1、m<n≦1，此时定义域区间[m,n]位于对称轴的左边，所以f(x)在该区间上递增；
则此时最小值为f(m)，最大值为f(n)；又已知值域为[2m,2n]；
所以，f(m)=2m，f(n)=2n；
这边不要直接解，这是一个很重要的处理方式，函数思想的运用；
把m和n看做是方程f(x)=2x的两个根，只要解一次即可；
f(x)=2x，即：-x²/2+x=2x，即：x²/2+x=0，即：x²+2x=0，
因为m<n，所以，显然：m=-2，n=0；满足m<n≦1；可取；
2、m<1<n时，对称轴在区间内，所以，对称轴处取得最大值f(1)=2n；
即：1/2=2n，得n=1/4，不满足m<1<n；
最大值已经不满足了，无需再考虑最小值，舍去；
（事实上，这边要考虑最小值要比较m,n到对称轴距离的远近，比较繁琐，
所以从最大值考虑去排除）
3、1≦m<n时，区间[m,n]在对称轴的右边，所以f(x)在该区间上递减；
则此时最小值为f(n)，最大值为f(m)；又已知值域为[2m,2n]；
所以，f(n)=2m，f(m)=2n；
即：-n²/2+n=2m，-m²/2+m=2n；
整理得：n²-2n=-4m，m²-2m=-4n；
两式相减得：n²-m²-2n+2m=-4m+4n
即：(n-m)(n+m)-2(n-m)=4(n-m)
因为n-m≠0，所以：n+m-2=4，得：n+m=6，即n=6-m
把n=6-m代入m²-2m=-4n得：m²-2m=-4(6-m)
整理得：m²-6m+24=0 无解，舍去
综上，存在满足题意的实数m=-2，n=0

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

可设f(x)=ax(x+b) f(1)-f(0)=-1/2 f(1)=-1/2=a(1+b)
f(0)-f(-1)=3/2 f(-1)=-3/2=-a(b-1) 解得a=-1 b=-1/2
所以f(x)=-x(x-1/2)
-m(m-1/2)=2m m=0 或m=-1/2 对称轴为x=1/4 [-1/2,0]在对称轴的左侧
所以当m=-1/2 n=0 时 值域为[-1/2,0]

Answer 3

1、
设f(x)=ax²+bx+c
根据f(0)=0，代入计算得c=0
所以f(x)=ax²+bx

f(x+1)-f(x)
=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx
=ax²+2ax+a+bx+b-ax²-bx
=2ax+(a+b)
=-x+1/2
所以 a=-1/2，a+b=1/2，则b=1

因此f(x)=-1/2x²+x

2、暂时没想好