Question

证明:当x＞0,0＜α＜1时，不等式x∧α－αx≤1－α成立

急求

Answer 1

【 当x＞0，0＜α＜1时，不等式x^α - αx ≤ 1 - α成立 】
令f(x) = (x^α - αx) - (1 - α) = x^α - αx + (α-1)
f'(x) = αx(α-1)-α = α[x^(α-1)-1]
∵0＜α＜1
∴-1＜α-1＜0
0＜x＜1时，x^(α-1)＞1，f'(x)=x^(α-1)-1＞0，f(x)单调增
x＞1时，x^(α-1)＜1，f'(x)=x^(α-1)-1＜0，f(x)单调减
当x=1时有极大值f(1) = x^1 - α*1 + α-1 = 0
即f(x) = (x^α - αx) - (1 - α) ≤ 0
∴(x^α - αx) ≤ (1 - α)

Answer 2

证明：
构造函数f(x)=(x^a)-ax. x＞0, 0＜a＜1
求导，f'(x)=[ax^(a-1)]-a
=a[x^(a-1)-1]
分类讨论
【1】
当0＜x≤1时，
x^(a-1)=1/[x^(1-a)]＞1
∴此时f'(x)＞0.
∴此时在区间(0,1]上，该函数递增，
∴恒有f(x)≤f(x)max=f(1)=1-a.
即此时恒有(x^a)-ax≤1-a. 0＜x≤1
【2】
当x≥1时，
易知此时恒有x^(a-1)＞1
∴f'(x)=a[x^(a-1)-1]＜0.
此时该函数在区间[1, +∞)上递减。
∴此时恒有f(x)≤f(x)max=f(1)=1-a
即恒有x^a-ax≤1-a.
综上可知,恒有(x^a)-ax≤1-a

Answer 3

设f(x)=x^a-ax+a-1
f'(x)=ax^(a-1)-a=a[x^(a-1)-1]
(1)当0<x≤1时
因0<a<1 -1<a-1<0
则x^(a-1)≥1^(a-1)=1
所以f'(x)≥0 f(x)单增
故f(x)最大=f(1)=1^a-a*1+a-1=0
即f(x)≤0
亦即x^a-ax+a-1≤0
(2) 当x≥1时
因0<a<1 -1<a-1<0
则x^(a-1)≤1^(a-1)=1
所以f'(x)≤0，f(x)单减
故f(x)最大=f(1)=1^a-a*1+a-1=0
即f(x)≤0
亦即x^a-ax+a-1≤0
综上：x^a－ax≤1－a
得证

Answer 4

y=x∧α－αx
y'=ax^(a-1)-a=a(x^(a-1)-1)
当x>1时 y'<0 减区间
当0<x<1 时 y'>0 增区间
所以y=f(x)的最大值为f(1)=1-a
故y≤1-a
即x^a-ax≤1-a

不知道求导你学过没有。。。
看看下面的应用里、、、、

Answer 5

引用wqqts的回答：
【 当x＞0，0＜α＜1时，不等式x^α - αx ≤ 1 - α成立 】
令f(x) = (x^α - αx) - (1 - α) = x^α - αx + (α-1)
f'(x) = αx(α-1)-α = α[x^(α-1)-1]
∵0＜α＜1
∴-1＜α-1＜0
0＜x＜1时，x^(α-1)＞1，f'(x)=x^(α-1)-1＞0，f(x)单调增
x＞1时，x^(α-1)＜1，f'(x)=x^(α-1)-1＜0，f(x)单调减
当x=1时有极大值f(1) = x^1 - α*1 + α-1 = 0
即f(x) = (x^α - αx) - (1 - α) ≤ 0
∴(x^α - αx) ≤ (1 - α)

【 当x＞0，0＜α＜1时，不等式x^α - αx ≤ 1 - α成立 】
令f(x) = (x^α - αx) - (1 - α) = x^α - αx + (α-1)
f'(x) = αx(α-1)-α = α[x^(α-1)-1]
∵0＜α＜1
∴-1＜α-1＜0
0＜x＜1时，x^(α-1)＞1，f'(x)=x^(α-1)-1＞0，f(x)单调增
x＞1时，x^(α-1)＜1，f'(x)=x^(α-1)-1＜0，f(x)单调减
当x=1时有极大值f(1) = x^1 - α*1 + α-1 = 0
即f(x) = (x^α - αx) - (1 - α) ≤ 0
∴(x^α - αx) ≤ (1 - α)