Question

如何证明函数是奇函数还是偶函数？

Answer 1

如果f（-x）=-f（x），就是奇函数。如果f（-x）=f（x），就是偶函数。

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。

偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。

但由单调性不能代表其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

概述：

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称点（x，y）→（-x，-y）。

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

Answer 2

要证明一个函数是奇函数还是偶函数，需要使用函数的定义和基本性质。
首先，如果一个函数 f（x） 满足 f（-x） = f（x），那么 f（x） 就是一个偶函数，因为它的函数值在 x 轴上是对称的。例如，f（x） = x^2 就是一个偶函数，因为它的函数图像关于 y 轴对称
其次，如果一个函数 f（x） 满足 f（-x） = -f（x），那么 f（x） 就是一个奇函数，因为它的函数图像关于原点对称。例如，f（x） = x^3 就是一个奇函数，因为它的函数图像关于原点对称。
下面以具体的例子说明如何证明一个函数是奇函数还是偶函数。
例1：证明函数 f（x） = cos（x） 是偶函数。
解：根据函数的定义，cos（x） = cos（-x），因此 f（x） 满足 f（-x） = f（x）。因此，f（x） 是一个偶函数。
例2：证明函数 f（x） = x^2 + 2x + 1 是偶函数还是奇函数。
解：将 f（-x） 和 f（x） 进行比较：
f（-x） = （-x）^2 + 2（-x） + 1 = x^2 - 2x + 1
f（x） = x^2 + 2x + 1
显然，f（-x） ≠ f（x） 且 f（-x） ≠ -f（x），因此 f（x） 既不是偶函数也不是奇函数。